На самом деле, попытки других православных правителе объявить свои государства наследниками Рима и Константинополя предпринимались.
В середине XIV века, когда Византия совсем захирела, сербский и болгарский правители пытались объявить свои государства ее духовными наследниками, возводя генезис власти через Константинополь к первому Риму. При этом тогдашние правители Сербии и Болгарии не имели какого-либо прямого и, по крайней мере, относительно близкого родства с правившими в Константинополе императорскими династиями. Т.е. они основывали свои притязания на наследство первых двух "Римов" не в наследственной плоскости, а в религиозной. Обе концепции оказались нежизнеспособны в силу того, что ни Болгарское, ни Сербское государства даже в период независимости "не тянули" на соответствующую весовую категорию. Кроме того, они достаточно быстро были разгромлены турками и попали в вассальную зависимость от Османской империи, вследствие чего о каком-либо наследовании флагманской роли не только в христианском в целом, но даже и в православном мире говорить не приходилось.
Теория о том, что "Москва - Третий Рим, а четвертому не быть" изначально все же основывалась, в первую очередь, не на родственных связях московских правителей с династией последних Константинопольских императоров, а на религиозном фундаменте. Кстати, зародилась она существенно позже брака Ивана III с Софьей Палеолог - примерно в 20-х годах XVI века, хотя некоторые исследователи [ну уж нет]одят ее корни в трудах русских мо[ну уж нет]ов последнего десятилетия XV века. В любом случае это произошло существенно позже венчания московского Великого князя с греческой царевной. А вот потом, когда уже сама теория оформилась в религиозном смысле, в нее начали тащить и светскую составляющую. Особенно популярно подчеркивать родство русских царей с византийскими императорами и выводить их как наследников последних стало в эпоху Ивана Грозного. Дело в том, что он всю свою жизнь страдал от "черного пиара". Он родился, когда его отцу Василию III было уже за пятьдесят и злые языки (которые он потом обильно вырывал и отсекал вместе с головами) утверждали, что его мать - Елена Глинская - "прижила" сына от любовника - князя Телепнева-Оболенского. Поэтому, Ивану Грозному было жизненно-важно легитимизировать свое происхождение и власть не просто от отца - Великого князя, но и от императоров Византии. К тому времени в восприятии русского народа древний православный Константинополь стал уже совершенно мистическим символом, по сути, близким к небесам. И таким образом декларируемое происхождение Ивана Грозного от правителей этого мистического царства в совокупности с претензиями на духовное наследство Византии давало "мультипликативный эффект" в глазах народа.
Сходные проблемы в области легитимизации своей власти испытывали и первые Романовы, поскольку Михаил Федорович был "избранным" царем, а его сын - наследником такового. И указание на происхождение от мистических константинопольских владык также добавляло им веса в глазах подданных. А концепция про "Третий Рим" шла органичным дополнением к этому, поскольку все было логично - раз тут правит потомок владык Второго Рима, значит у нас и есть Третий.
Соответственно, одного только родства с последними римскими императорами маловато для того, чтобы претендовать на духовное наследство Византийской империи, потому, видимо, на Западе никто и не помышляет об этом.