Если моя память мне окончательно ни с кем, то lie down and roll over - идиома речи, ведущая своё происхождение от команд, подаваемых дрессированной собаке (лежать! и перекатываться (это когда животное катается по земле по команде дрессировщика)). Соответственно идиоматическое выражение употребляется с отрицанием. То есть подразумевается следующее: я не буду выполнять чужие команды.
В русском наиболее близким будет, наверное, выражение плясать под чужую дудку. То есть в данном случае, конечно же, НЕ плясать под чужую дудку :)
Ну и соответственно, я бы перевёл предложение примерно так:
Покажем этой мутантской мрази, что мы скорее умрём, чем станем плясать под их дудку!