Нужна помощь по высшей математике

[IMS^Scouty]

Нужно найти длину 1ого витка спирали Архимеда r=k*U(U в данном случае - угол фи)

Вся проблема заключается в решении нужного интеграла

Мне необходимо именно решение, т.е. как придти к конечной формуле, а не ответ, потому что я его знаю, но препод сказал расписать подробнее(

Изменено 12 апреля, 2011 пользователем IMS^Scouty

[Haroith]

l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф].

Последний интеграл берётся заменой ф=sh(t).

l = a*int[sqrt(1 + ф^2)*dф] = a*int[сh^2(t)*dt] = (a/2)*int[(сh(2t)+1)*dt] =

= (a/2)*[(1/2)*sh(2t) + t] = (a/2)*[sh(t)*ch(t) + t] =

= (a/2)*[ф*sqrt(ф^2 + 1) + arcsh(ф)].

Проставляя указанные выше пределы, получим

l(Ф) = (a/2)*[Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + arcsh(Ф)],

или же, переписывая арксинус через логарифм

arcsh(Ф) = ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)], можем окончательно записать

l(Ф) = (a/2)*{Ф*sqrt(Ф^2 + 1) + ln[Ф + sqrt(Ф^2 + 1)]}

Найдено за минуту. Гугл спасёт мир.

[IMS^Scouty]

Это не то, я тоже сначала гуглил и видел это решение, но тут нельзя делать замену на синус, т.к. под корнем "+", а не "-".

Просто как бы (1+ sinx*sinx) не равно cosx*cosx)

Изменено 12 апреля, 2011 пользователем IMS^Scouty

[Haroith]

А ничего, что SH - это гиперболический синус и он положительный при положительном аргументе?

[IMS^Scouty]

Хм, не знал. Просто гиперболических синусов и прочего мы не изучали и решать интеграл через это - чистое палево.

Нужно такое решение, какое мог бы написать первокурсник, т.е. я)

Изменено 12 апреля, 2011 пользователем IMS^Scouty

[Haroith]

Я думал, про это в школе рассказывают... Счас покопаю свои лекции по линалу, где-то было. Заново решать лень.

[Gerian]

Интегрировать по частям уже умеешь?

Собственно, 1 раз по частям. В появившемся интеграле будет Ф^2/(1+Ф^2)^(1/2). В числитель допишешь +-1 и этот интеграл превратится ещё в 2. один из них - табличный длинный логарифм(или, что тоже самое ,гиперболический арксинус), а второй - твой исходный интеграл. Перенеся его в левую часть и разделив обе стороны на 2, получаем ответ.

Далеко не самый простой способ, но вполне подходит под требования к первокуру.

Изменено 12 апреля, 2011 пользователем Gerian

[IMS^Scouty]

Ок, а можно по конкретнее, указать что за что брать? Ну там что брать за U и что за dV.

Разобрался что за что брать, получилось. Способ кстати простой. Блин сколько ломал голову, а решение такое простое)

Спасибо товарищу Gerian'у.

Изменено 12 апреля, 2011 пользователем IMS^Scouty

[Haroith]

Да, точно-точно. Интегрирование по частям решает практически всё. =) Блин, у меня всегда были проблемы с "искусственными приёмами" типа прибавить и вычесть. =\ Проще считать то, что есть. А гиперболические функции советую почитать самому, если на первом курсе этого не рассказывают. Штука полезная и несложная.

[IMS^Scouty]

Прошу модераторов закрыть тему, т.к. сам не умею)

[Сыр]

Ещё можно избавиться от иррациональности подстановкой Эйлера.

У подкоренного выражения нет вещественных корней след канает замена:

t=(1+u^2)^(1/2) +u